Clases particulares PAES MATEM&#193;TICA

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

Tutor personal matemáticas método Singapur para niños (Chile) — Clases y tutorías personalizadas con el método Singapur, un enfoque visual y práctico para el aprendizaje de las matemáticas en niños.

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

Tutor personal GMAT QUANT, GRE QUANT, EA QUANT, FRM QUANT, SAT QUANT, IB Mathematics — Preparación especializada para exámenes internacionales de admisión y certificación, con el método Open Your Mind.

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre rapidez de escape y energía

1. ¿Qué es la rapidez de escape terrestre?

Es la rapidez mínima que necesita un objeto para escapar de la atracción gravitacional de la Tierra sin más propulsión.

2. ¿Cómo se relaciona la energía cinética con la energía potencial en la rapidez de escape?

La condición de escape es que la energía cinética más la energía potencial sea cero: $E_c + E_p = 0$.

3. ¿Cuál es la expresión correcta para la rapidez de escape?

La expresión correcta es $\sqrt{2GM/r}$, que corresponde a la opción C.

4. ¿Por qué las opciones A, B y D son incorrectas?

A) es negativa y sin raíz. B) tiene $1/2$ en lugar de 2. D) eleva al cuadrado en lugar de raíz cuadrada.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de energía y rapidez de escape?

Evalúa la capacidad de trabajar con ecuaciones físicas que involucran energía cinética y potencial, y de despejar variables aplicando propiedades algebraicas.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Olvidar que la masa $m$ se cancela al dividir, o confundir la raíz cuadrada con el cuadrado.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 27 agua

Administrator — 2026-07-22T19:16:04Z

PAES M2 2026: El costo del agua y las funciones a trozos | Claudio Hurtado

💧 El costo del agua y las funciones a trozos PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 27

¿Cómo saber cuánto pagar por llenar una piscina si el costo del agua depende de la cantidad consumida?
La pregunta 27 de la PAES M2 nos presenta un sistema de cobro de agua por tramos. Hoy vamos a desentrañar estas funciones a trozos y calcular el costo de llenar una piscina completa. ¡Ponte el sombrero de contador de servicios!

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"El agua es un recurso vital, y su costo no es lineal. Las funciones a trozos son comunes en servicios públicos: electricidad, gas, agua. Aprender a interpretarlas te ayudará a entender tu propia cuenta de servicios."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas una función a trozos, explora probando valores en cada tramo. Pregúntate: "¿Qué pasa si consumo 50 m³? ¿Y si consumo 80 m³? ¿Cuál fórmula debo usar?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué el punto de quiebre es 64 m³? ¿Cómo sé qué fórmula corresponde a cada tramo?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: grafica ambas funciones, calcula algunos valores, busca el punto de intersección. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de saber qué tramo usar?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (el costo de llenar la piscina completa) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿El volumen de la piscina? ¿El tramo que corresponde?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de funciones a trozos, emprende el proceso de resolver el problema, y luego crea tu propio ejemplo de servicio con otros tramos. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un amigo que se confunde con los tramos?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras resuelves, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy usando la fórmula correcta para el volumen que calculé? ¿El volumen de la piscina completa supera los 64 m³? ¿Qué parte del razonamiento me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar funciones definidas por tramos en contextos de servicios.
✅ A determinar qué tramo corresponde según el valor de la variable.
✅ A resolver ecuaciones lineales para encontrar volúmenes desconocidos.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 27

27. El precio $P$ por pagar por el consumo de agua depende de la cantidad $x$ de metros cúbicos consumidos en el mes. En cierta ciudad, el cobro se realiza de la siguiente forma:

- Si se consume una cantidad menor o igual que $64 \, \text{m}^3$, entonces el precio total por pagar se calcula mediante la ecuación $P = 1800x + 1000$.

- Si se consume una cantidad mayor que $64 \, \text{m}^3$, entonces el precio total por pagar se calcula mediante la ecuación $P = 3500x - 104300$.

Considera que por solamente llenar una piscina hasta $\frac{4}{5}$ de su capacidad máxima se debe pagar $\$116\,200$.

¿Cuánto se debe pagar por llenar a su máxima capacidad una piscina de igual volumen que la anterior?

A) $\$119\,700$

B) $\$145\,000$

C) $\$145\,250$

D) $\$175\,700$

📊 Costo del agua por tramos

El gráfico muestra los dos tramos de la función de costo. El punto de quiebre está en $x=64$ m³. La piscina de capacidad 80 m³ se ubica en el segundo tramo.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Cuando tengas una función a trozos, lo primero es identificar en qué tramo estás. Usa la información del problema para encontrar el volumen que corresponde al pago conocido. Luego, una vez que sepas el volumen total, usa la fórmula adecuada para calcular el nuevo costo."

El costo de $116.200$ corresponde al primer tramo (porque es menor que el punto de quiebre). De ahí despejamos el volumen de la piscina parcial y luego calculamos el total.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Primero, averigua a qué tramo pertenece el costo conocido. Luego, despeja el volumen. Finalmente, calcula el costo para el volumen total. ¡Es como seguir un mapa de dos rutas!"

Paso 1: Identificar el tramo del costo conocido
$P = 116.200$. Como es menor que el punto de quiebre (que ocurre en $P = 1800(64)+1000 = 116.200$), el costo corresponde al primer tramo.

Paso 2: Usar la ecuación del primer tramo
$116.200 = 1800x + 1000$

Paso 3: Despejar $x$
$1800x = 115.200$ → $x = 64$

Paso 4: Interpretar el resultado
$64 \, \text{m}^3$ corresponde a $\frac{4}{5}$ de la capacidad total.

Paso 5: Calcular la capacidad total
$\frac{4}{5}C = 64$ → $C = 64 \cdot \frac{5}{4} = 80 \, \text{m}^3$

Paso 6: Determinar el tramo para la capacidad total
$80 > 64$, por lo tanto se usa el segundo tramo.

Paso 7: Calcular el costo con el segundo tramo
$P = 3500(80) - 104300 = 280000 - 104300 = 175700$

✅ Respuesta correcta:
D) $\$175\,700$

✅ Respuesta correcta: D) $\$175\,700$

Las opciones A, B y C son distractores que no corresponden al cálculo correcto del costo para 80 m³ usando la función del segundo tramo.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a trabajar con funciones definidas por tramos en contextos reales. La habilidad clave es identificar el tramo correcto según el valor de la variable, y luego usar la fórmula correspondiente. Además, nos muestra que los problemas de servicios públicos suelen tener puntos de quiebre que cambian la tarifa.

🤔 Curiosidad: En la vida real, las tarifas de agua, electricidad y gas suelen tener tramos con precios diferentes para fomentar el ahorro. ¡Entender estas funciones te ayuda a tomar decisiones más inteligentes!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 27. Todos trabajan con funciones a trozos y tarifas de servicios. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Un servicio de electricidad cobra: si el consumo $x \le 200$ kWh, $P = 80x + 500$; si $x > 200$, $P = 120x - 7500$. Si una casa pagó $17.500$ por 200 kWh, ¿cuánto pagaría por 300 kWh?

🎯 Tip específico: Primero verifica que 200 kWh está en el primer tramo (P = 80(200)+500 = 16.500). 300 kWh está en el segundo tramo: P = 120(300)-7500 = 28.500.

Desafío 2 Un gimnasio cobra: si asistes $x \le 10$ veces al mes, $P = 5000x$; si $x > 10$, $P = 4000x + 10000$. Si por 8 veces pagas 40.000, ¿cuánto pagas por 15 veces?

🎯 Tip específico: 8 está en el primer tramo: 5000(8) = 40.000. 15 está en el segundo: 4000(15)+10000 = 70.000.

Desafío 3 Un estacionamiento cobra: $P = 1000x$ si $x \le 5$ horas; $P = 800x + 1000$ si $x > 5$. Si por 5 horas pagas 5.000, ¿cuánto pagas por 8 horas?

🎯 Tip específico: 5 está en el primer tramo: 1000(5)=5.000. 8 está en el segundo: 800(8)+1000=7.400.

Desafío 4 Un taxi cobra: $P = 300x + 500$ si $x \le 10$ km; $P = 200x + 1500$ si $x > 10$. Si por 10 km pagas 3.500, ¿cuánto pagas por 15 km?

🎯 Tip específico: 10 está en el primer tramo: 300(10)+500=3.500. 15 está en el segundo: 200(15)+1500=4.500.

Desafío 5 Un plan de internet cobra: $P = 15000x$ si $x \le 50$ GB; $P = 10000x + 250000$ si $x > 50$. Si por 50 GB pagas 750.000, ¿cuánto pagas por 70 GB?

🎯 Tip específico: 50 está en el primer tramo: 15000(50)=750.000. 70 está en el segundo: 10000(70)+250000=950.000.

💡 Recuerda: la clave siempre es identificar el tramo correcto según el valor de $x$ y luego usar la fórmula correspondiente. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar funciones a trozos

1. Leer atentamente el dominio de cada tramo

Identifica los valores de $x$ para los cuales se aplica cada fórmula.

2. Verificar a qué tramo pertenece el valor dado

Antes de usar una fórmula, asegúrate de que el valor de $x$ esté en el dominio correcto.

3. Usar la fórmula adecuada para cada caso

Si $x$ está en el límite, usa la fórmula que incluye el "menor o igual".

4. Resolver ecuaciones lineales para encontrar valores desconocidos

Si conoces el precio, despeja $x$ para encontrar el volumen.

5. Verificar la coherencia del resultado

El costo debe ser consistente con el tramo usado. Si el volumen es mayor que el punto de quiebre, el costo debe ser mayor que en el primer tramo.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre funciones a trozos y tarifas de agua

1. ¿Cómo se interpreta el sistema de cobro del agua por tramos?

Si el consumo es ≤ 64 m³, se usa $P = 1800x + 1000$. Si es > 64 m³, se usa $P = 3500x - 104300$.

2. ¿Cuántos m³ de agua se usaron para llenar la piscina hasta 4/5 de su capacidad?

Se resuelve la ecuación $1800x + 1000 = 116200$, obteniendo $x = 64$ m³.

3. ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?

Si 4/5 de la capacidad son 64 m³, entonces la capacidad total es $64 / (4/5) = 80$ m³.

4. ¿Cuánto se paga por llenar la piscina completa?

Como 80 m³ > 64, se usa $P = 3500(80) - 104300 = 175700$. La respuesta es D) $175.700.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de funciones a trozos?

Evalúa la capacidad de interpretar modelos matemáticos por tramos, identificar la ecuación correcta según el dominio, y resolver problemas de aplicación.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

No verificar a qué tramo corresponde el valor de $x$ antes de aplicar la fórmula, o confundir la fracción de capacidad.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 26 oferta demanda mercado

Administrator — 2026-07-22T17:30:10Z

PAES M2 2026: Oferta, demanda y equilibrio de mercado | Claudio Hurtado

📈 Oferta, demanda y equilibrio de mercado PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 26

¿Cómo calcular la diferencia entre lo que la gente quiere comprar y lo que el mercado ofrece a un precio fijo?
La pregunta 26 de la PAES M2 nos sumerge en el mundo de la microeconomía: dos rectas (demanda y oferta) representan el comportamiento de un mercado. Hoy vamos a calcular la diferencia entre la cantidad demandada y la ofrecida cuando el precio es de $40. ¡Ponte el traje de economista!

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"En economía, la demanda y la oferta son como dos fuerzas que se enfrentan. El gráfico es el campo de batalla, y las ecuaciones son las armas para predecir el resultado. Hoy vamos a usar esas armas."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un gráfico con dos rectas, explora identificando qué puntos te da la imagen. Pregúntate: "¿Qué información me entrega cada punto? ¿Cómo puedo usarla para construir las ecuaciones?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué la pendiente de la demanda es negativa?" o "¿Cómo sé qué punto corresponde a cada curva?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: calcula la pendiente de cada recta, escribe las ecuaciones, y luego evalúa en el precio dado. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de llegar a la diferencia?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (la diferencia entre cantidades) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿Las cantidades individuales o la diferencia directamente?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de funciones lineales, emprende el proceso de construir las ecuaciones, y luego crea tu propio ejemplo de mercado con otros valores. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un amigo que se confunde con las curvas?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras analizas el gráfico, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy identificando correctamente los puntos de cada curva? ¿Las pendientes que calculo tienen sentido en el contexto? ¿Qué parte de la interpretación me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar gráficos de oferta y demanda en economía.
✅ A construir ecuaciones de rectas a partir de dos puntos.
✅ A calcular cantidades demandadas y ofrecidas a un precio dado.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 26

26. En el mercado de un determinado producto, su demanda y oferta se modelan mediante funciones de la forma $ f(x) = ax + b $, tal como se representa en el gráfico adjunto.

Precio en dólares

Cantidad de productos

Si el precio del producto se fija en 40 dólares, ¿cuál será la diferencia entre la cantidad de la demanda y la cantidad de la oferta?

A) 100

B) 120

C) 140

D) 160

📊 Oferta y Demanda del producto

Datos del gráfico: Demanda: pasa por (0, 110) y se intersecta con la oferta en (80, 70).
Oferta: pasa por (40, 40) y (80, 70).
Con estos puntos, puedes construir las ecuaciones y calcular la cantidad demandada cuando el precio es $40.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Un gráfico de oferta y demanda es como un mapa del tesoro. Cada punto es una pista, y las ecuaciones son el camino. Con dos puntos de cada curva, puedes encontrar la ecuación y luego calcular cualquier cantidad a cualquier precio. ¡Es como tener una brújula económica!"

La diferencia entre cantidad demandada y ofrecida a $P=40$ es $140 - 40 = 100$.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Primero, construye las ecuaciones de ambas rectas con los puntos que te da el gráfico. Luego, evalúa en el precio de $40. Finalmente, resta las cantidades. ¡Es como armar un rompecabezas económico!"

Paso 1: Identificar puntos de la Demanda
$(0, 110)$ y $(80, 70)$

Paso 2: Calcular pendiente de Demanda
$m_d = \frac{70-110}{80-0} = \frac{-40}{80} = -\frac{1}{2}$

Paso 3: Ecuación de Demanda
$P - 110 = -\frac{1}{2}(Q - 0)$ → $P = 110 - \frac{1}{2}Q$

Paso 4: Identificar puntos de la Oferta
$(40, 40)$ y $(80, 70)$

Paso 5: Calcular pendiente de Oferta
$m_o = \frac{70-40}{80-40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$

Paso 6: Ecuación de Oferta
$P - 40 = \frac{3}{4}(Q - 40)$ → $P = \frac{3}{4}Q + 10$

Paso 7: Calcular $Q_d$ para $P=40$
$40 = 110 - 0.5Q$ → $0.5Q = 70$ → $Q_d = 140$

Paso 8: Calcular $Q_o$ para $P=40$
$40 = \frac{3}{4}Q + 10$ → $\frac{3}{4}Q = 30$ → $Q = 40$

Paso 9: Diferencia
$Q_d - Q_o = 140 - 40 = 100$

✅ Respuesta correcta:
A) 100

✅ Respuesta correcta: A) 100

Las opciones B (120), C (140) y D (160) no corresponden al cálculo correcto. La diferencia real entre la cantidad demandada (140) y la ofrecida (40) es 100.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a modelar situaciones económicas con funciones lineales. La habilidad clave es extraer información de un gráfico (dos puntos por curva), construir ecuaciones de rectas y evaluar en un punto específico para encontrar cantidades. Además, nos muestra que la diferencia entre demanda y oferta es un concepto fundamental en economía: si la demanda supera a la oferta, hay escasez; si la oferta supera a la demanda, hay excedente.

🤔 Curiosidad: En la vida real, los economistas usan estas curvas para predecir el efecto de los impuestos, los subsidios y los precios máximos. ¡Las matemáticas son la base de las políticas públicas!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 26. Todos trabajan con gráficos de oferta y demanda y cálculo de diferencias. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Demanda: pasa por (0, 100) y (50, 50). Oferta: pasa por (20, 20) y (60, 60). Si el precio es $60, ¿cuál es la diferencia entre demanda y oferta?

🎯 Tip específico: Demanda: $P = 100 - Q$. Oferta: $P = Q$. A P=60: $Q_d=40$, $Q_o=60$. Diferencia = 20 (la oferta supera a la demanda).

Desafío 2 Demanda: (0, 120) y (60, 60). Oferta: (30, 30) y (90, 90). Si el precio es $90, ¿cuál es la diferencia?

🎯 Tip específico: Demanda: $P = 120 - Q$. Oferta: $P = Q$. A P=90: $Q_d=30$, $Q_o=90$. Diferencia = 60 (excedente de oferta).

Desafío 3 Demanda: (0, 80) y (40, 40). Oferta: (10, 20) y (40, 80). Si el precio es $60, ¿cuál es la diferencia?

🎯 Tip específico: Demanda: $P = 80 - Q$. Oferta: $P = 2Q$. A P=60: $Q_d=20$, $Q_o=30$. Diferencia = 10 (excedente de oferta).

Desafío 4 Demanda: (0, 150) y (50, 100). Oferta: (20, 40) y (60, 120). Si el precio es $80, ¿cuál es la diferencia?

🎯 Tip específico: Demanda: $P = 150 - Q$. Oferta: $P = 2Q$. A P=80: $Q_d=70$, $Q_o=40$. Diferencia = 30 (exceso de demanda).

Desafío 5 Demanda: (0, 200) y (100, 100). Oferta: (40, 40) y (80, 120). Si el precio es $120, ¿cuál es la diferencia?

🎯 Tip específico: Demanda: $P = 200 - Q$. Oferta: $P = 2Q - 40$. A P=120: $Q_d=80$, $Q_o=80$. Diferencia = 0 (equilibrio).

💡 Recuerda: la clave siempre es construir las ecuaciones de cada curva a partir de los puntos dados, y luego evaluar en el precio para encontrar las cantidades. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar ejercicios de oferta y demanda

1. Identificar los puntos de cada curva

El gráfico te da puntos clave. Anótalos claramente.

2. Calcular la pendiente de cada recta

Usa $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

3. Escribir la ecuación punto-pendiente

$P - P_1 = m(Q - Q_1)$ o $P = mQ + b$.

4. Evaluar en el precio dado

Sustituye $P$ por el valor dado y despeja $Q$.

5. Calcular la diferencia

Resta la cantidad ofrecida de la cantidad demandada (o viceversa).

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre oferta, demanda y funciones lineales

1. ¿Cómo se interpreta la curva de demanda en el gráfico?

La curva de demanda tiene pendiente negativa: a mayor precio, menor cantidad demandada.

2. ¿Cómo se interpreta la curva de oferta en el gráfico?

La curva de oferta tiene pendiente positiva: a mayor precio, mayor cantidad ofrecida.

3. ¿Cuál es la diferencia entre demanda y oferta cuando el precio es $40?

La diferencia es 100 unidades: la cantidad demandada es 140 y la ofrecida es 40.

4. ¿Por qué las opciones B, C y D son incorrectas?

Porque no corresponden al cálculo correcto de la diferencia entre las cantidades demandada y ofrecida.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de oferta y demanda?

Evalúa la capacidad de interpretar gráficos de funciones lineales en contextos económicos y de calcular valores a partir de ecuaciones de rectas.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Confundir la pendiente de las curvas o no identificar correctamente los puntos dados en el gráfico.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

PAES M2 2026: Pregunta 25, Arriendo de vehículos y funciones lineales | Claudio Hurtado Tutor personal +56937780070

Administrator — 2026-07-20T00:55:56Z

PAES M2 2026: Pregunta 25, Arriendo de vehículos y funciones lineales | Claudio Hurtado Tutor personal +56937780070

🚗 Arriendo de vehículos y funciones lineales PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 25

¿Cómo saber cuánto cuesta arrendar un vehículo según los días?
La pregunta 25 de la PAES M2 nos muestra un gráfico con el costo de arriendo en función de los días. Hoy vamos a convertir esa línea en una función matemática y descubrir cuál de las opciones la representa correctamente. ¡Ponte al volante de la ecuación lineal!

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"Las funciones lineales están en todas partes: en el costo de un arriendo, en la velocidad de un auto, en el crecimiento de una planta. El gráfico es el mapa, y la función es la ruta. Aprender a leer el mapa te lleva directo al destino."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un gráfico de una función lineal, explora identificando el punto de corte con el eje Y (intercepto) y un segundo punto. Pregúntate: "¿Qué significa el intercepto en el contexto del problema?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué la pendiente es el costo por día?" o "¿Cómo verifico si mi función pasa por los puntos del gráfico?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: calcula la pendiente con la fórmula, o verifica la función evaluando en x=10. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de descartar opciones?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (la función correcta) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿La pendiente o el intercepto?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de funciones lineales, emprende el proceso de construir la función, y luego crea tu propio ejemplo de arriendo con otros valores. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un amigo que se confunde con la pendiente?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras analizas el gráfico, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy identificando correctamente los puntos? ¿La pendiente que calculo tiene sentido en el contexto? ¿Qué parte de la interpretación me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A leer gráficos de funciones lineales y extraer información clave.
✅ A calcular la pendiente y el intercepto a partir de puntos.
✅ A identificar la función correcta entre varias opciones.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 25

25. En el siguiente gráfico se presentan los costos de arriendo de un vehículo dependiendo de la cantidad de días $x$ que se arrienda.

Costo en pesos

970 200 88 200

⬇️

Tiempo en días

10

¿Cuál de las siguientes funciones modela el costo de arriendo de un vehículo en función de los días de arriendo?

A) $h(x) = 88\,200x$

B) $g(x) = \frac{970\,200x}{10}$

C) $p(x) = 88\,200x + 88\,200$

D) $t(x) = \frac{88\,200x}{10} + 88\,200$

📈 Costo de arriendo vs. días

El gráfico muestra que el costo por arrendar 0 días es $88.200 (costo fijo) y por 10 días es $970.200.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Un gráfico lineal siempre tiene dos elementos clave: el punto de partida (intercepto) y la inclinación (pendiente). El intercepto aquí es $88.200, que es el costo fijo. La pendiente es el costo adicional por día: $(970.200 - 88.200) / 10 = 88.200$. ¡Con eso ya tenemos la función!"

La función es $f(x) = 88.200x + 88.200$, opción C.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "La receta para encontrar la función lineal desde un gráfico es simple: identifica dos puntos, calcula la pendiente, luego usa la fórmula punto-pendiente o el intercepto. ¡Es como seguir una receta de cocina!"

Paso 1: Leer los puntos del gráfico
Punto 1: $(0, 88.200)$ → costo fijo.
Punto 2: $(10, 970.200)$ → costo por 10 días.

Paso 2: Calcular la pendiente
$m = \frac{970.200 - 88.200}{10 - 0} = \frac{882.000}{10} = 88.200$

Paso 3: Escribir la función lineal
$f(x) = m \cdot x + b$, donde $b$ es el intercepto.
$f(x) = 88.200x + 88.200$

Paso 4: Identificar la opción
La función coincide con la opción C.

Paso 5: Verificar
Para $x=10$: $f(10) = 88.200(10) + 88.200 = 882.000 + 88.200 = 970.200$. ¡Correcto!

✅ Respuesta correcta:
C) $p(x) = 88\,200x + 88\,200$

✅ Respuesta correcta: C) $p(x) = 88\,200x + 88\,200$

Las opciones A, B y D no coinciden con los puntos del gráfico. A) no tiene costo fijo. B) simplifica a 97.020x, pendiente incorrecta. D) tiene pendiente 8.820, incorrecta.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a extraer una función lineal a partir de un gráfico. La habilidad clave es identificar el intercepto y la pendiente a partir de puntos visibles. También nos muestra que el contexto ayuda a interpretar: el intercepto es un costo fijo, y la pendiente es el costo por día.

Además, nos recuerda que siempre debemos verificar nuestra función evaluándola en los puntos dados para confirmar que es correcta.

🤔 Curiosidad: Las funciones lineales son el modelo más usado en economía para costos fijos y variables. ¡Cada vez que arriendas un auto, estás usando matemáticas!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 25. Todos trabajan con gráficos de funciones lineales. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Un gráfico muestra el costo de un servicio de taxi en función de los kilómetros. En el punto (0, 500) y (10, 2500). ¿Cuál es la función?

🎯 Tip específico: Pendiente = (2500-500)/10 = 200. Función: f(x) = 200x + 500.

Desafío 2 Un gráfico de ingreso por ventas muestra los puntos (0, 1000) y (5, 3000). Escribe la función lineal.

🎯 Tip específico: Pendiente = (3000-1000)/5 = 400. Función: f(x) = 400x + 1000.

Desafío 3 Un gráfico muestra la temperatura en función de las horas. Puntos (0, 10) y (6, 22). ¿Cuál es la función?

🎯 Tip específico: Pendiente = (22-10)/6 = 2. Función: T(h) = 2h + 10.

Desafío 4 Un gráfico de costo de producción tiene puntos (0, 200) y (8, 1000). Encuentra la función.

🎯 Tip específico: Pendiente = (1000-200)/8 = 100. Función: C(x) = 100x + 200.

Desafío 5 Un gráfico muestra el precio de un producto en función de la cantidad. Puntos (0, 50) y (4, 130). ¿Cuál es la función?

🎯 Tip específico: Pendiente = (130-50)/4 = 20. Función: P(x) = 20x + 50.

💡 Recuerda: la clave siempre es identificar dos puntos del gráfico, calcular la pendiente y usar el intercepto. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar funciones lineales a partir de gráficos

1. Identifica el intercepto (b)

Es el punto donde la línea cruza el eje Y (cuando x=0).

2. Encuentra la pendiente (m)

Usa la fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ con dos puntos.

3. Escribe la función en la forma $f(x) = mx + b$

Sustituye los valores de m y b.

4. Verifica con un punto conocido

Evalúa la función en un punto del gráfico para confirmar.

5. Interpreta el contexto

La pendiente y el intercepto tienen significados específicos según el problema.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre funciones lineales y gráficos

1. ¿Cómo se interpreta el intercepto en el gráfico de arriendo?

El intercepto en el eje vertical (costo) indica el costo fijo de arriendo, que en este caso es $88.200.

2. ¿Cuál es la pendiente de la función de costo de arriendo?

La pendiente es $(970.200 - 88.200) / 10 = 88.200$, que representa el costo diario adicional.

3. ¿Cuál es la función correcta que modela el costo de arriendo?

La función correcta es $p(x) = 88.200x + 88.200$, que corresponde a la opción C.

4. ¿Por qué las opciones A, B y D son incorrectas?

A) no incluye el costo fijo. B) simplifica a 97.020x, pendiente incorrecta. D) tiene el intercepto como 88.200 pero la pendiente sería 8.820, incorrecta.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de funciones lineales a partir de gráficos?

Evalúa la capacidad de extraer información de gráficos (pendiente e intercepto) y construir la función correspondiente.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Confundir el intercepto con la pendiente, o no considerar el costo fijo al leer el gráfico.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

PAES Matemática M2 2026, pregunta 24: Faldas, jeans y ecuaciones de moda | Claudio Hurtado Tutor personal +56937780070

Administrator — 2026-07-20T00:41:34Z

PAES Matemática M2 2026: Faldas, jeans y ecuaciones de moda | Claudio Hurtado Tutor personal +56937780070

👗 Faldas, jeans y ecuaciones de moda PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 24

¿Cómo descifrar el significado de las letras en un modelo de ventas?
La pregunta 24 de la PAES M2 nos lleva a una tienda de ropa donde se venden faldas y jeans. Un modelo algebraico representa el ingreso total, y debemos descubrir qué representa cada símbolo. Hoy vamos a convertirnos en detectives de ecuaciones.

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"Las ecuaciones no son solo números; cuentan historias. En este problema, la ecuación nos habla de un emprendimiento de moda. Tenemos que aprender a escuchar lo que cada letra nos dice sobre el negocio."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un modelo con variables, explora asignando valores hipotéticos: ¿qué pasaría si x=11 (11 faldas y 9 jeans)? ¿Cómo se comporta la ecuación? Pregúntate: "¿Qué representa cada término en el contexto real?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué s multiplica a (20−x) y no a x?" o "¿Cómo sé que r es el precio de las faldas?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: asigna nombres a las variables, dibuja una tabla con cantidades y precios. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más visual de entender el modelo?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (el significado de s) y trabaja hacia atrás desde la ecuación. Pregúntate: "¿Qué necesito saber para interpretar s correctamente?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de modelación, emprende el proceso de analizar la ecuación, y luego crea tu propia situación de ventas con dos productos. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un amigo que se confunde con las variables?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras analizas, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy confundiendo cantidades con precios? ¿La condición x > 10 me está dando una pista? ¿Qué parte de la interpretación me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar modelos algebraicos en contextos de ventas.
✅ A distinguir entre variables que representan cantidades y las que representan precios.
✅ A usar condiciones como $x > 10$ para identificar qué representa cada término.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 24

24. Una persona venderá 20 prendas entre faldas y jeans, y venderá cada tipo de prenda a un precio fijo.

Se sabe que si vende todas las prendas ganará en total $134 000 y que hay más faldas que jeans.

El siguiente modelo representa la situación anterior:
$r \cdot x + s \cdot (20 - x) = 134 000$
Si $ x > 10 $, ¿qué representa $ s $ en el modelo?

A) Cantidad de jeans

B) Cantidad de faldas

C) Precio de cada jean

D) Precio de cada falda

🛍️ Descifrando la ecuación de ventas

$r$ = precio falda

$x$ = cantidad faldas

$s$ = ?

$(20-x)$ = cantidad jeans

134000

Pista: $x > 10$ y hay más faldas que jeans → $x$ es la cantidad de faldas.
Por lo tanto, $(20-x)$ es la cantidad de jeans, y $s$ multiplica a esa cantidad → $s$ es el precio de cada jean.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Cuando veas una ecuación como esta, pregúntate: '¿Qué cosa se está multiplicando por qué?' Si $x$ es la cantidad de faldas, entonces $r$ debe ser el precio de cada falda. Si $(20-x)$ es la cantidad de jeans, entonces $s$ debe ser el precio de cada jean. ¡Es como emparejar calcetines!"

La opción correcta es C) Precio de cada jean.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Lee la ecuación en voz alta: 'r por x más s por (20 menos x) es igual a 134000'. Ahora, sustituye las palabras: 'precio de falda por cantidad de faldas más precio de jean por cantidad de jeans es igual al ingreso total'. ¡Así de simple!"

Paso 1: Identificar la variable $x$
$x > 10$ y hay más faldas que jeans. Como hay 20 prendas en total, $x$ es la cantidad de faldas (porque si $x>10$, las faldas son más de la mitad).

Paso 2: Identificar el término $r \cdot x$
$r$ multiplica a $x$ (cantidad de faldas). Por lo tanto, $r$ es el precio de cada falda.

Paso 3: Identificar el término $s \cdot (20 - x)$
$(20 - x)$ es la cantidad de jeans (porque el total menos las faldas son los jeans).

Paso 4: Interpretar $s$
$s$ multiplica a la cantidad de jeans, así que $s$ es el precio de cada jean.

Paso 5: Conclusión
$s$ representa el precio de cada jean.

✅ Respuesta correcta:
C) Precio de cada jean

✅ Respuesta correcta: C) Precio de cada jean

Las opciones A y B confunden cantidades con precios; la opción D asigna el precio de la falda a $s$, pero $r$ es el precio de la falda. La condición $x>10$ es la clave para saber que $x$ son las faldas.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a interpretar modelos algebraicos en contexto. No se trata de resolver la ecuación, sino de entender qué representa cada símbolo. La habilidad clave es relacionar las variables con los elementos del problema y usar las condiciones dadas (como $x > 10$) para despejar dudas.

Además, nos muestra que en un modelo, el orden de los factores importa: una variable multiplicada por una cantidad nos da un subtotal, y la suma de subtotales es el total.

🤔 Curiosidad: Este tipo de razonamiento es muy útil en economía, marketing y finanzas personales. Cuando ves una fórmula de ingresos, saber qué representa cada término te ayuda a tomar mejores decisiones.

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 24. Todos trabajan con modelos de ventas y significados de variables. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Un kiosco vende 50 productos entre bebidas y snacks. El modelo $p \cdot a + q \cdot b = 75000$ representa el ingreso total, donde $a$ es la cantidad de bebidas. Si $a > 25$, ¿qué representa $q$?

🎯 Tip específico: $a$ son bebidas, entonces $b$ son snacks. $q$ multiplica a $b$, así que $q$ es el precio de cada snack.

Desafío 2 Una librería vende 30 libros entre novelas y cuentos. El modelo $12x + 8y = 240$ da el ingreso total. Si $x$ es la cantidad de novelas, ¿qué representa $y$? ¿Y el 8?

🎯 Tip específico: $x$ novelas, $y$ cuentos. 12 es el precio de cada novela, 8 es el precio de cada cuento. $y$ es la cantidad de cuentos.

Desafío 3 Un cine vende 100 entradas entre adultos y niños. El modelo $a \cdot t + b \cdot (100 - t) = 500000$, con $t > 50$. ¿Qué representa $b$?

🎯 Tip específico: $t > 50$ → $t$ son adultos. $(100 - t)$ son niños. $b$ multiplica a los niños → $b$ es el precio de entrada de niños.

Desafío 4 Un taller vende 40 sillas y mesas. El modelo $r \cdot m + s \cdot (40 - m) = 120000$, con $m < 20$. Si $m$ es la cantidad de mesas, ¿qué representa $r$ y $s$?

🎯 Tip específico: $m$ mesas, $(40-m)$ sillas. $r$ multiplica a mesas → precio de mesa. $s$ multiplica a sillas → precio de silla.

Desafío 5 Una frutería vende 60 kg entre manzanas y peras. El modelo $3x + 5y = 300$, donde $x$ e $y$ son los kg de cada fruta. ¿Qué representan el 3 y el 5?

🎯 Tip específico: 3 y 5 son los precios por kg de cada fruta. Si $x$ son manzanas, 3 es el precio de la manzana; si $y$ son peras, 5 es el precio de la pera.

💡 Recuerda: la clave siempre es identificar qué representa cada variable en el contexto y qué significado tiene cada coeficiente. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar la interpretación de modelos algebraicos

1. Lee el enunciado con atención

Identifica las cantidades y los precios. Cada número o letra tiene un significado.

2. Define las variables

Asigna nombres a las incógnitas: cantidad de producto A, cantidad de producto B, etc.

3. Relaciona cada término con el contexto

Un término como $precio \times cantidad$ es un subtotal. La suma de subtotales es el total.

4. Usa las condiciones del problema

Si dicen que hay más de un producto que del otro, eso te ayuda a saber qué variable representa qué.

5. Verifica con un ejemplo numérico

Asigna valores a las cantidades y precios para ver si el modelo funciona.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre modelación algebraica

1. ¿Qué representa $x$ en el modelo $r \cdot x + s \cdot (20 - x) = 134000$?

$x$ representa la cantidad de faldas, porque $x > 10$ y hay más faldas que jeans.

2. ¿Qué representa $s$ en el modelo?

$s$ representa el precio de cada jean, ya que multiplica a $(20 - x)$, que es la cantidad de jeans.

3. ¿Cuál es la opción correcta para la pregunta 24?

La opción correcta es C) Precio de cada jean.

4. ¿Por qué las opciones A y B son incorrectas?

A y B confunden cantidades con precios. $s$ es un precio, no una cantidad.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de modelación algebraica?

Evalúa la capacidad de interpretar modelos construidos con variables y constantes, y de identificar el significado de cada símbolo en el contexto del problema.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Confundir las variables que representan cantidades con las que representan precios, o no leer correctamente la condición $x > 10$.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 23 lacteos

Administrator — 2026-07-20T00:29:42Z

PAES M2 2026: Queso, crema y sistemas de ecuaciones | Claudio Hurtado

🧀 Queso, crema y sistemas de ecuaciones PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 23

¿Cómo repartir la leche y el tiempo para producir queso y crema de forma óptima?
La pregunta 23 de la PAES M2 nos lleva a una planta láctea donde debemos decidir cuántos kilogramos de queso y crema fabricar, dadas las restricciones de leche y horas de procesamiento. Hoy vamos a modelar este problema con un sistema de ecuaciones y descubrir qué opción es la correcta.

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"La producción de queso y crema no es solo cosa de vacas; es un problema matemático de optimización. Cada recurso limitado (leche y tiempo) se convierte en una ecuación. Y resolver el sistema es la clave para saber cuánto fabricar de cada uno."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando enfrentes un problema con dos recursos, explora con casos sencillos: ¿qué pasa si solo produces queso? ¿y solo crema? Pregúntate: "¿Cómo se traduce cada dato en una ecuación?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué la ecuación de leche es 12x + 10y y no al revés?" o "¿Cómo convierto '3 kg por hora' en horas por kg?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: escribe las ecuaciones sin simplificar, luego simplifica. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más sencilla de verificar la opción correcta?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (el sistema correcto) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿La ecuación de leche o la de tiempo?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de modelación, emprende el proceso de construir las ecuaciones, y luego crea tu propio problema con otros productos. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un amigo que se confunde con las unidades?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras construyes el sistema, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy usando las unidades correctas? ¿La ecuación de tiempo está en horas o en fracciones de hora? ¿Qué parte del modelo me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A identificar las variables y las restricciones en un problema de producción.
✅ A traducir datos a ecuaciones lineales (leche y tiempo).
✅ A simplificar ecuaciones para elegir la opción correcta.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 23

23. Una empresa láctea produce queso y crema. Para fabricar un kilogramo de queso, la empresa requiere 12 litros de leche y para fabricar un kilogramo de crema requiere 10 litros de leche. Además, en una hora de procesamiento se pueden fabricar 3 kilogramos de queso o 2 kilogramos de crema.

Si se ocuparán 9200 litros de leche y 300 horas para el procesamiento de esta leche, ¿cuál de los siguientes sistemas permite calcular la cantidad $x$ de kilogramos de queso y la cantidad $y$ de kilogramos de crema que se pueden fabricar?

A) $6x + 5y = 4600$
$3x + 2y = 300$

B) $6x + 5y = 9200$
$3x + 2y = 300$

C) $6x + 5y = 4600$
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$

D) $6x + 5y = 9200$
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$

🏭 Recursos y producción

🥛 Leche
12 L/kg queso
10 L/kg crema

⏱️ Tiempo
3 kg/h queso
2 kg/h crema

→

📦 Producción
x kg queso
y kg crema

Ecuaciones: Leche: $12x + 10y = 9200$ → simplificada: $6x + 5y = 4600$
Tiempo: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 300$ → es decir, $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "No te dejes engañar por las opciones. Primero, escribe las ecuaciones tal como las entiendes: 12 litros por kg de queso, 10 litros por kg de crema. Eso da $12x + 10y = 9200$. Luego, el tiempo: si en 1 hora haces 3 kg de queso, cada kg de queso requiere 1/3 de hora; si haces 2 kg de crema por hora, cada kg de crema requiere 1/2 hora. Entonces $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$. ¡Ahora simplifica la primera dividiendo por 2!"

El sistema correcto es $6x + 5y = 4600$ y $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$, opción C.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Siempre empieza por definir tus variables y luego escribe cada restricción como una ecuación. Después, busca simplificaciones que te acerquen a las opciones."

Paso 1: Definir variables
$x$ = kg de queso, $y$ = kg de crema.

Paso 2: Ecuación de leche
$12x + 10y = 9200$ (litros totales).

Paso 3: Simplificar ecuación de leche
Dividir entre 2: $6x + 5y = 4600$.

Paso 4: Ecuación de tiempo
Cada kg de queso requiere $1/3$ h (porque 3 kg/h).
Cada kg de crema requiere $1/2$ h (porque 2 kg/h).
Total: $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$.

Paso 5: Identificar el sistema
$6x + 5y = 4600$
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$

✅ Respuesta correcta:
C) $6x + 5y = 4600$ y $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$

✅ Respuesta correcta: C

La opción A tiene la ecuación de tiempo incorrecta (3x+2y=300), que sería cierta si 3 kg de queso y 2 kg de crema se produjeran por hora, pero la ecuación de tiempo se construye a partir de horas por kg, no kg por hora. La opción B y D no simplifican la leche correctamente.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a modelar problemas de producción con sistemas de ecuaciones lineales. La habilidad clave es interpretar correctamente las tasas de producción (kg por hora) y convertirlas en tiempo por unidad (horas por kg). Además, simplificar las ecuaciones nos ayuda a comparar con las opciones.

Además, nos muestra que las unidades importan: no es lo mismo 3 kg por hora que 1/3 de hora por kg. Una confusión común es usar directamente las tasas de producción sin invertirlas.

🤔 Curiosidad: Este tipo de problemas de optimización de recursos se usa en la vida real en fábricas, granjas, y hasta en la logística de entregas. ¡Las matemáticas hacen funcionar la industria!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 23. Todos trabajan con modelación mediante sistemas de ecuaciones. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Una fábrica produce dos tipos de muebles: sillas y mesas. Para una silla se necesitan 2 m² de madera y 3 horas de trabajo. Para una mesa, 5 m² de madera y 8 horas de trabajo. Si se dispone de 100 m² de madera y 150 horas, plantea el sistema de ecuaciones para saber cuántas sillas ($x$) y mesas ($y$) se pueden fabricar.

🎯 Tip específico: Madera: $2x + 5y = 100$. Tiempo: $3x + 8y = 150$. No simplifiques a menos que sea necesario.

Desafío 2 Una panadería produce pan de molde y pan integral. Para 1 kg de pan de molde se usan 0,8 kg de harina y 0,2 horas de cocción. Para 1 kg de pan integral, 0,6 kg de harina y 0,3 horas. Si hay 40 kg de harina y 15 horas disponibles, escribe el sistema.

🎯 Tip específico: Harina: $0,8x + 0,6y = 40$. Tiempo: $0,2x + 0,3y = 15$. Puedes multiplicar por 10 para evitar decimales.

Desafío 3 Un taller mecánico repara autos y motos. Cada auto requiere 4 litros de aceite y 2 horas de trabajo. Cada moto requiere 1 litro de aceite y 1,5 horas. Si hay 50 litros de aceite y 40 horas, plantea el sistema.

🎯 Tip específico: Aceite: $4x + y = 50$. Tiempo: $2x + 1,5y = 40$. Puedes multiplicar la segunda por 2 para evitar decimales.

Desafío 4 Una empresa de jugos produce naranja y piña. Para 1 litro de naranja se necesitan 3 naranjas y 0,1 horas. Para 1 litro de piña, 2 piñas y 0,15 horas. Si hay 150 naranjas y 10 horas, ¿cuál es el sistema?

🎯 Tip específico: Naranjas: $3x + 2y = 150$. Tiempo: $0,1x + 0,15y = 10$. Multiplica la segunda por 20: $2x + 3y = 200$.

Desafío 5 Una imprenta produce libros y revistas. Un libro usa 200 hojas y 1 hora de impresión. Una revista usa 80 hojas y 0,5 horas. Si se tienen 5000 hojas y 30 horas, plantea el sistema.

🎯 Tip específico: Hojas: $200x + 80y = 5000$. Tiempo: $x + 0,5y = 30$. Simplifica la primera dividiendo por 20: $10x + 4y = 250$.

💡 Recuerda: la clave siempre es identificar las variables y las restricciones, y luego escribir cada restricción como una ecuación lineal. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar la modelación con sistemas de ecuaciones

1. Define claramente las variables

Asigna una letra a cada cantidad desconocida (ej. $x$ e $y$).

2. Identifica las restricciones

Lee el enunciado y extrae los datos que limitan los recursos (leche, tiempo, dinero, etc.).

3. Escribe cada restricción como una ecuación

Multiplica la cantidad por unidad por el número de unidades y suma todas las contribuciones.

4. Presta atención a las unidades

Si la tasa es "kg por hora", para obtener horas por kg debes invertir la fracción.

5. Simplifica las ecuaciones si es necesario

Divide por factores comunes para que las ecuaciones sean más manejables y coincidan con las opciones.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones en producción

1. ¿Cómo se modela el consumo de leche para queso y crema?

Cada kg de queso requiere 12 litros, y cada kg de crema requiere 10 litros. La ecuación de leche es $12x + 10y = 9200$.

2. ¿Cómo se modela el tiempo de procesamiento?

En una hora se producen 3 kg de queso ($1/3$ h por kg) o 2 kg de crema ($1/2$ h por kg). La ecuación de tiempo es $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$.

3. ¿Cuál es el sistema correcto para la pregunta 23?

El sistema correcto es: $6x + 5y = 4600$ y $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 300$, que corresponde a la opción C.

4. ¿Por qué las opciones A, B y D son incorrectas?

A y B usan $3x+2y=300$, que no corresponde al tiempo real. D usa $6x+5y=9200$ sin simplificar, pero lo que la invalida es la ecuación de tiempo incorrecta.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de sistemas en contextos productivos?

Evalúa la capacidad de traducir situaciones reales a sistemas de ecuaciones lineales y de identificar las restricciones correctas.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Confundir las unidades de tiempo (horas por kg vs kg por hora) y no simplificar correctamente las ecuaciones.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 22 sistemas

Administrator — 2026-07-20T00:15:39Z

PAES M2 2026: Sistemas de ecuaciones y la llave de la solución | Claudio Hurtado

🔑 Sistemas de ecuaciones y la llave de la solución PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 22

¿Cómo saber si un sistema de ecuaciones tiene solución sin tener que resolverlo?
La pregunta 22 de la PAES M2 nos invita a convertirnos en detectives de sistemas: solo con mirar los coeficientes, debemos decidir si las ecuaciones se cruzan en algún punto o si son dos líneas paralelas que nunca se tocan. Hoy vamos a encontrar la llave que abre la puerta de la solución.

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"Imagina que cada ecuación es una línea recta en el plano. Si las líneas se cruzan, hay solución; si son paralelas y distintas, no hay; si son la misma línea, hay infinitas. La pregunta es: ¿qué condición sobre los coeficientes nos asegura que se cruzan?"

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un sistema, explora con casos concretos: prueba con a=2, b=3, c=5, d=1 y ve si tiene solución. Luego cambia a=2, b=2 y observa qué pasa. Pregúntate: "¿Qué relación hay entre los coeficientes cuando las rectas se cruzan?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué a-b es el determinante?" o "¿Qué pasa si a=b pero c=a·d?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: usa el método de sustitución, el de reducción, o piensa en las rectas. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de saber si hay solución?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (la condición que garantiza solución) y trabaja hacia atrás. Pregúntate: "¿Qué necesito saber para que el sistema tenga al menos una solución?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de sistemas, emprende el proceso de resolverlo por tu cuenta, y luego crea tu propio sistema para probar las condiciones. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un compañero que confunde los casos?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras analizas, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy entendiendo la geometría detrás de las ecuaciones? ¿La condición a≠b realmente garantiza solución? ¿Qué parte de la lógica me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar un sistema de ecuaciones como dos rectas en el plano.
✅ A identificar la condición de solución a partir del determinante.
✅ A distinguir entre solución única, infinitas y ninguna.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 22

22. Considera el siguiente sistema de ecuaciones en $ x $ e $ y $, con $ a $, $ b $, $ c $ y $ d $ números reales.
$\begin{cases} ax + by = c \\ x + y = d \end{cases}$
¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que este sistema tiene solución?

A) Que $ a $ sea distinto de $ b $.

B) Que $ a + b $ sea distinto de $ c $.

C) Que $ c $ sea distinto de $ d $.

D) Que $ a $ sea proporcional a $ b $.

📊 Dos rectas, un destino

$ax + by = c$

✖

$x + y = d$

Determinante = $a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b$

Si $a \neq b$, el determinante es distinto de cero → solución única.
Si $a = b$, el sistema puede tener infinitas o ninguna solución, dependiendo de $c$ y $d$.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "No necesitas resolver el sistema para saber si tiene solución. Solo mira el determinante de la matriz de coeficientes: $a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b$. Si $a \neq b$, el sistema tiene solución única. ¡Así de simple!"

Las otras opciones (B, C, D) no garantizan nada. Por ejemplo, $a+b \neq c$ no asegura que las rectas se crucen; solo dice que una combinación de coeficientes no es igual a una constante.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Imagina que el sistema es un juego de dos líneas. Si $a \neq b$, las líneas tienen pendientes distintas, así que se cruzan en un punto. ¡Eso es solución! Si $a = b$, las pendientes son iguales, pueden ser paralelas o coincidentes."

Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial
$\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$

Paso 2: Calcular el determinante
$\Delta = a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b$

Paso 3: Analizar el determinante
Si $\Delta \neq 0$ (es decir, $a \neq b$), el sistema tiene solución única (por el teorema de Cramer).

Paso 4: ¿Qué pasa si $a = b$?
Entonces la primera ecuación es $a(x+y) = c$, y como $x+y = d$, se requiere $c = a \cdot d$. Si se cumple, infinitas soluciones; si no, ninguna.

Paso 5: Conclusión
La condición que garantiza solución es $a \neq b$ (opción A), porque asegura solución única.

✅ Respuesta correcta:
A) Que $a$ sea distinto de $b$.

✅ Respuesta correcta: A) Que $a$ sea distinto de $b$.

Las opciones B, C y D no son condiciones suficientes para garantizar solución. Por ejemplo, $a+b \neq c$ no afecta la compatibilidad, y $c \neq d$ no es relevante. La proporcionalidad (D) no dice nada sobre la relación con $c$ y $d$.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a usar el determinante como un predictor de soluciones. En lugar de resolver el sistema, podemos mirar los coeficientes y saber si las rectas se intersectan. La habilidad clave es identificar cuándo un sistema es compatible determinado (solución única) y cuándo no.

Además, nos muestra que no todas las condiciones sobre los coeficientes garantizan solución; solo aquellas que afectan la independencia lineal de las ecuaciones.

🤔 Curiosidad: En el mundo real, los ingenieros usan estos mismos principios para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución antes de gastar tiempo resolviéndolo. ¡La eficiencia es clave!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 22. Todos trabajan con sistemas de ecuaciones lineales y condiciones de solución. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Considera el sistema $2x + ky = 5$ y $x + y = 3$. ¿Qué valor de $k$ hace que el sistema tenga solución única?

🎯 Tip específico: El determinante es $2 \cdot 1 - k \cdot 1 = 2 - k$. Para solución única, $2 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq 2$. La respuesta es $k \neq 2$.

Desafío 2 El sistema $ax + ay = 4$ y $x + y = 2$ tiene infinitas soluciones. ¿Cuánto debe valer $a$?

🎯 Tip específico: Si $a = b$, la primera ecuación es $a(x+y)=4$. Como $x+y=2$, se necesita $a \cdot 2 = 4 \Rightarrow a = 2$. La respuesta es $a=2$.

Desafío 3 Dado el sistema $3x + 2y = 7$ y $x + y = d$, ¿para qué valor de $d$ el sistema tiene solución?

🎯 Tip específico: Como $3 \neq 2$, el sistema siempre tiene solución única, independientemente de $d$. La respuesta es "cualquier $d$".

Desafío 4 El sistema $mx + ny = 10$ y $x + y = 2$ no tiene solución. Si $m = n$, ¿qué relación debe cumplirse?

🎯 Tip específico: Si $m=n$, la primera ecuación es $m(x+y)=10$. Como $x+y=2$, se necesita $m \cdot 2 = 10 \Rightarrow m=5$ para que tenga infinitas. Para que no tenga, debe ser $m \neq 5$. La respuesta es $m \neq 5$.

Desafío 5 Considera el sistema $ax + by = c$ y $x + y = d$. Si $a = b$ y $c = a \cdot d$, ¿cuántas soluciones tiene?

🎯 Tip específico: Si $a=b$, la primera ecuación es $a(x+y)=a d$. Como $x+y=d$, ambas ecuaciones son equivalentes (la segunda multiplicada por $a$). Por lo tanto, hay infinitas soluciones.

💡 Recuerda: la clave siempre es calcular el determinante y analizar su valor. Si es distinto de cero, solución única; si es cero, hay que revisar la compatibilidad. ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar sistemas de ecuaciones lineales

1. Determinante = a·d - b·c

Para un sistema $ax+by=c$ y $dx+ey=f$, el determinante es $a e - b d$.

2. Si determinante ≠ 0 → solución única

Es la condición suficiente y necesaria para que haya una única solución.

3. Si determinante = 0 → hay que estudiar compatibilidad

Puede haber infinitas soluciones (si las ecuaciones son proporcionales) o ninguna (si son contradictorias).

4. Las condiciones sobre el lado derecho no afectan la unicidad

La unicidad depende solo de los coeficientes de las incógnitas.

5. Verifica con ejemplos numéricos

Prueba con números concretos para confirmar la condición.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones

1. ¿Cuándo un sistema de dos ecuaciones lineales tiene solución?

Si las rectas que representan las ecuaciones se intersectan en al menos un punto. Si son paralelas y coincidentes, infinitas soluciones; si son paralelas distintas, no hay solución.

2. ¿Qué condición del sistema asegura que tiene solución (no necesariamente única)?

Que $a$ sea distinto de $b$ ($a \neq b$), porque entonces el determinante es distinto de cero y hay solución única.

3. ¿Qué ocurre si $a = b$ en el sistema?

Si $a = b$, la primera ecuación es $a(x+y)=c$, y como $x+y=d$, se requiere que $c = a \cdot d$ para que haya solución. Si no, el sistema es incompatible.

4. ¿Por qué las opciones B, C y D no garantizan solución?

B) $a+b \neq c$ no afecta la existencia. C) $c \neq d$ no es suficiente. D) $a$ proporcional a $b$ no garantiza relación con $c$ y $d$.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de sistemas de ecuaciones?

Evalúa la capacidad de analizar la compatibilidad de sistemas lineales y la comprensión de la relación entre coeficientes y soluciones.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Confundir la condición de solución única ($a \neq b$) con otras combinaciones de coeficientes.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 21 vacaciones

Administrator — 2026-07-20T00:01:02Z

PAES M2 2026: Vacaciones y proporcionalidad — el arte de descansar | Claudio Hurtado

🌴 Vacaciones y proporcionalidad: el arte de descansar PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 21

¿Cómo cambian los días de vacaciones cuando llevas más de 10 años en la empresa?
La pregunta 21 de la PAES M2 nos mete en el mundo de los recursos humanos: calcular días de vacaciones según los años trabajados, combinando una base fija con un incremento por antigüedad. Hoy vamos a ser asesores laborales y descubrir la expresión matemática que todo trabajador sueña.

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"Las vacaciones son un derecho, pero también son un problema matemático. La clave está en entender que los primeros 10 años te dan una base fija, y los años extra te dan un plus proporcional. ¡Como una receta de cocina!"

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un problema de proporcionalidad escalonada, explora con casos concretos: ¿qué pasa si trabajas 11 años? ¿Y si trabajas 12? Pregúntate: "¿Cómo cambia el cálculo cuando n aumenta?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué el día extra por año se divide entre 12?" o "¿Qué pasa si n no es entero?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: calcula los días anuales primero y luego divide por 12, o calcula directamente los días por mes. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de llegar a la expresión?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (días de vacaciones por mes) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿Los días totales anuales o los días por mes?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de proporcionalidad, emprende el proceso de resolverlo por tu cuenta, y luego crea tu propio ejemplo con números para verificar. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un compañero que confunde la base con el incremento?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras resuelves, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy separando correctamente la base fija del incremento variable? ¿Estoy dividiendo el incremento anual entre 12 para obtener el mensual? ¿Qué parte del razonamiento me está costando más?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar la proporcionalidad directa en el cálculo de vacaciones.
✅ A diferenciar entre la base fija (primeros 10 años) y el incremento variable (años adicionales).
✅ A expresar el total por mes como una suma de dos términos.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 21

21. Los trabajadores de cierta empresa tienen derecho a 15 días de vacaciones anuales, las cuales se pueden calcular proporcionalmente, considerando doce meses de un año y que cada mes trabajado otorga al trabajador 1,25 días de vacaciones.

Luego de diez años de trabajo, se agrega un día de vacaciones anuales por cada año adicional a los diez años de trabajo, los cuales también se pueden calcular proporcionalmente a los meses del año.

Un trabajador necesita calcular la cantidad de días de vacaciones que le corresponden luego de $ (10 + n) $ años, con $ n $ un número positivo.

¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la cantidad de días de vacaciones que le corresponden por cada mes trabajado?

A) $1,25 + \frac{n}{12}$

B) $1,25 + \frac{n + 10}{12}$

C) $\frac{n + 10}{12}$

D) $\frac{n}{12}$

📅 Evolución de los días de vacaciones por mes trabajado

0-10 años → 10+n años

Base fija

1,25 días/mes

Incremento

n/12 días/mes

Total

1,25 + n/12

Explicación: La base de 1,25 días por mes se mantiene. Los n años extra suman 1 día anual por año, que al dividirlo en 12 meses da n/12 días por mes.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Imagina que cada año trabajado es como una cuenta de ahorro. Los primeros 10 años te dan 15 días anuales (1,25 al mes). Cada año extra te da 1 día adicional al año, que son 1/12 de día al mes. No sumes los 10 años con los n extra: los 10 ya están incluidos en la base, el incremento es solo por los n años adicionales."

La expresión correcta es $1,25 + \frac{n}{12}$. La opción A es la única que mantiene la base fija y añade el incremento proporcional.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Desglosa el problema en dos partes: la base (primeros 10 años) y el extra (años adicionales). Luego, suma ambos términos. ¡Es como armar un rompecabezas!"

Paso 1: Días de vacaciones base
En los primeros 10 años, el trabajador tiene derecho a 15 días anuales.
Por mes trabajado: $ \frac{15}{12} = 1,25 $ días.

Paso 2: Incremento por años adicionales
Por cada año adicional (más allá de 10), se agrega 1 día anual.
Eso equivale a $ \frac{1}{12} $ días por mes.

Paso 3: Para $n$ años adicionales
El incremento total por mes es $ \frac{n}{12} $.

Paso 4: Expresión total por mes
Días por mes = Base + Incremento
$ 1,25 + \frac{n}{12} $

Paso 5: Identificar la opción correcta
La expresión coincide con la opción A.

✅ Respuesta correcta:
A) $1,25 + \frac{n}{12}$

✅ Respuesta correcta: A) $1,25 + \frac{n}{12}$

Las opciones B, C y D no representan correctamente la suma de la base fija (1,25) más el incremento proporcional por los años adicionales ($n/12$). La opción B incluye los 10 años en el numerador, y las opciones C y D omiten la base de 1,25.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a modelar situaciones de proporcionalidad directa con incrementos escalonados. La habilidad clave es identificar qué parte del cálculo es fija y qué parte es variable, y luego expresar la variable en términos de la misma unidad (en este caso, por mes).

Además, nos muestra que no debemos sumar los 10 años base con los $n$ años adicionales porque la base ya incluye los primeros 10 años; el incremento solo aplica a los años extra.

🤔 Curiosidad: En la vida real, muchas empresas tienen tablas de antigüedad similares, donde los años adicionales otorgan días extra de vacaciones. ¡Las matemáticas laborales son muy importantes para saber cuánto descansar!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 21. Todos trabajan con proporcionalidad directa y escalonada. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Una empresa da 18 días de vacaciones anuales los primeros 5 años. Después de 5 años, da 2 días adicionales por año extra. ¿Cuántos días por mes corresponden después de (5 + m) años?

🎯 Tip específico: Base: 18/12 = 1,5 días/mes. Incremento: 2/12 = 1/6 día/mes por año extra. Total por mes = 1,5 + m/6. La respuesta es $1,5 + m/6$.

Desafío 2 Una empresa da 12 días de vacaciones anuales los primeros 3 años. Luego, 1,5 días adicionales por año extra. ¿Qué expresión da los días por mes después de (3 + k) años?

🎯 Tip específico: Base: 12/12 = 1 día/mes. Incremento: 1,5/12 = 0,125 día/mes por año extra. Total = 1 + k/8. La respuesta es $1 + k/8$.

Desafío 3 Un trabajador tiene 20 días base anuales los primeros 8 años. Luego, 3 días extra por año adicional. ¿Cuántos días por mes le corresponden después de 10 años?

🎯 Tip específico: 10 años = 8 + n, con n = 2. Base: 20/12 = 5/3 ≈ 1,667. Incremento: 3/12 = 0,25 por año. Total = 5/3 + 2/4 = 5/3 + 0,5 = 5/3 + 1/2 = 10/6 + 3/6 = 13/6 ≈ 2,167 días/mes.

Desafío 4 Una empresa da 10 días de vacaciones los primeros 6 años, y luego 2 días extra por año. ¿Cuál es la expresión para los días por mes después de (6 + q) años?

🎯 Tip específico: Base: 10/12 = 5/6. Incremento: 2/12 = 1/6. Total = 5/6 + q/6 = (5 + q)/6. La respuesta es $(5 + q)/6$.

Desafío 5 Un trabajador tiene 25 días de vacaciones anuales los primeros 12 años. Luego, 4 días extra por año. ¿Cuántos días por mes le corresponden después de 15 años?

🎯 Tip específico: 15 años = 12 + n, con n = 3. Base: 25/12 ≈ 2,083. Incremento: 4/12 = 1/3 por año. Total = 25/12 + 3/3 = 25/12 + 1 = 25/12 + 12/12 = 37/12 ≈ 3,083 días/mes.

💡 Recuerda: la clave siempre es separar la base fija del incremento y expresar ambos en la misma unidad (por mes). ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar problemas de proporcionalidad escalonada

1. Identificar la base fija

Determina cuánto corresponde por mes en el período base (antes del incremento).

2. Calcular el incremento por mes

Si se agrega $k$ días anuales por año extra, el incremento por mes es $k/12$.

3. Sumar base e incremento

La expresión total es la suma de la base fija más el incremento proporcional.

4. No sumar los años base

Los años base ya están incluidos en la base fija; el incremento solo aplica a los años adicionales.

5. Verificar con un ejemplo numérico

Asigna un valor a $n$ y calcula manualmente para verificar la expresión.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre vacaciones y proporcionalidad

1. ¿Cómo se calculan los días de vacaciones por mes trabajado en los primeros 10 años?

Se dividen los 15 días anuales entre 12 meses: $15/12 = 1,25$ días por mes.

2. ¿Qué pasa después de 10 años de trabajo?

Se agrega 1 día adicional de vacaciones anuales por cada año adicional, proporcional a los meses trabajados.

3. ¿Cuál es la expresión correcta para los días de vacaciones por mes trabajado después de $(10+n)$ años?

La expresión correcta es $1,25 + n/12$, que corresponde a la opción A.

4. ¿Por qué las opciones B, C y D son incorrectas?

Porque no representan correctamente la suma de la base fija (1,25) más el incremento proporcional por los años adicionales ($n/12$).

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de proporcionalidad y vacaciones?

Evalúa la capacidad de modelar situaciones de proporcionalidad directa y de interpretar incrementos escalonados en el tiempo.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Sumar los años adicionales ($n$) sin dividir entre 12, o no mantener la base fija de 1,25.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.

📧 clasespaesmatematica@gmail.com | 📱 +569 3778 0070

📬 Conéctate conmigo

📧 Correo: clasespaesmatematica@gmail.com

📱 WhatsApp: +569 3778 0070

📸 Instagram: @clasespaesmatematica

🌐 Web: https://preuch.cl

📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.

paes m2 invierno 2026 pregunta 20 caudales

Administrator — 2026-07-19T23:45:34Z

PAES M2 2026: Caudales y estanques — obra en construcción | Claudio Hurtado

🚰 Caudales y estanques: obra en construcción PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 20

¿Cuánto falta para llenar el estanque cuando tres llaves trabajan juntas?
La pregunta 20 de la PAES M2 nos mete en el mundo de la hidráulica: tres llaves con diferentes caudales llenan un estanque vacío. Hoy vamos a calcular qué fracción del estanque aún está vacía después de una hora de trabajo conjunto. ¡Ponte el casco de constructor!

✍️ Claudio Hurtado Maturana — Ex docente Pontificia Universidad Católica de Chile, con más de 20 años de experiencia preparando estudiantes para la PAES Matemática M1 y M2, y exámenes internacionales como GMAT, GRE y SAT. Fundador de Preuniversitario Claudio Hurtado.
"Los problemas de llaves y estanques son como el trabajo en equipo: cada uno aporta una parte, y el resultado es la suma de los esfuerzos. Pero cuidado: si sumas los tiempos en lugar de los caudales, el estanque nunca se llenará en tu mente."

🧠 El Método "Open Your Mind" de Claudio Hurtado

Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un problema de trabajo conjunto, explora con un ejemplo numérico simple: si una llave llena en 2 horas y otra en 3 horas, ¿qué fracción llenan juntas en 1 hora? Pregúntate: "¿Qué pasaría si una llave llena en 1 hora? ¿Cómo cambia la fracción?"
Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué sumo las fracciones y no los tiempos?" o "¿Cómo convierto 4,5 horas a fracción?"
Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: calcula la fracción que llena cada llave por hora, suma, y luego verifica con el método de la unidad de trabajo. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de sumar estas fracciones?"
Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (la fracción que queda por llenar) y trabaja paso a paso. Pregúntate: "¿Qué necesito calcular primero? ¿La fracción llenada o la que falta?"
"Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de caudales, emprende el proceso de resolverlo por tu cuenta, y luego crea tu propio problema con otros tiempos para practicar. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un compañero que confunde los pasos?"

🔁 Metacognición en acción:

"Mientras resuelves, haz pausas y pregúntate: ¿Estoy sumando las fracciones correctamente? ¿Convertí bien 4,5 horas a fracción? ¿Qué hago si el resultado no está en las opciones?"

La metacognición es pensar sobre tu propio pensamiento. Te ayuda a tomar el control de tu proceso y a mejorar continuamente. Úsala como tu brújula mientras resuelves.

🎯 En este taller aprenderás:
✅ A calcular la fracción de trabajo que realiza cada llave por hora.
✅ A sumar fracciones con distinto denominador usando el mínimo común múltiplo.
✅ A interpretar la fracción que queda como el complemento de lo ya llenado.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.

🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 20

20. Una llave llena un estanque vacío en 4 horas a caudal constante, otra llave llena el mismo estanque vacío en 3 horas a caudal constante y una tercera llave llena el mismo estanque vacío en 4,5 horas a caudal constante.

Si las tres llaves se abren simultáneamente para llenar este mismo estanque vacío, tal que cada una mantiene su caudal constante, ¿qué fracción del estanque queda por llenar luego de haber transcurrido una hora?

A) $\frac{10}{115}$

B) $\frac{4}{36}$

C) $\frac{7}{36}$

D) $\frac{105}{135}$

🚿 Caudal de cada llave (fracción del estanque por hora)

Llave 1

1/4

Llave 2

1/3

Llave 3

2/9

Juntas

29/36

En una hora, las tres llaves juntas llenan 29/36 del estanque. Queda por llenar 7/36.

🔑 El momento "Open Your Mind":

Claudio te dice: "Imagina que el estanque es una pizza. Cada llave es una persona que come una parte de la pizza en una hora. La primera come 1/4 de la pizza, la segunda come 1/3, y la tercera come 2/9. Si comen juntas, ¿qué fracción de la pizza queda después de una hora? ¡La misma lógica aplica!"

La fracción que queda es $1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9})$. Sumamos y obtenemos $1 - \frac{29}{36} = \frac{7}{36}$.

🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)

🎤 Claudio te dice: "Primero, calcula la fracción del estanque que cada llave llena en una hora. Luego, súmalas. Finalmente, resta de 1 para saber lo que falta. ¡Es como repartir un pastel entre varios!"

Paso 1: Fracción que llena la llave 1 en 1 hora
$\frac{1}{4}$

Paso 2: Fracción que llena la llave 2 en 1 hora
$\frac{1}{3}$

Paso 3: Fracción que llena la llave 3 en 1 hora
$\frac{1}{4.5} = \frac{1}{9/2} = \frac{2}{9}$

Paso 4: Sumar las tres fracciones
$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9}$
MCM de 4, 3 y 9 = 36
$\frac{9}{36} + \frac{12}{36} + \frac{8}{36} = \frac{29}{36}$

Paso 5: Fracción que queda por llenar
$1 - \frac{29}{36} = \frac{36}{36} - \frac{29}{36} = \frac{7}{36}$

✅ Respuesta correcta:
C) $\frac{7}{36}$

✅ Respuesta correcta: C) $\frac{7}{36}$

Las opciones A, B y D no corresponden al resultado correcto de la resta $1 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9})$. La opción B es $\frac{4}{36}$ que es la fracción que quedaría si solo consideráramos dos llaves, y las otras son distractores.

📊 ¿Qué estamos aprendiendo?

Este ejercicio nos enseña a modelar problemas de trabajo conjunto sumando las contribuciones individuales de cada elemento. La habilidad clave es expresar el trabajo de cada uno como una fracción del total por unidad de tiempo y luego sumar esas fracciones.

Además, nos muestra que no se deben sumar los tiempos (4 + 3 + 4.5 = 11.5 horas) porque eso sería incorrecto; los caudales se suman, no los tiempos.

🤔 Curiosidad: En la vida real, los ingenieros hidráulicos usan exactamente este mismo principio para calcular tiempos de llenado de estanques y piscinas. ¡Las matemáticas son la base de la infraestructura!

🧩 5 desafíos para entrenar el criterio

¡Pon a prueba lo que aprendiste!

Cada desafío está alineado con la pregunta 20. Todos trabajan con caudales y fracciones de llenado. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.

Desafío 1 Una llave llena un estanque en 5 horas y otra en 2 horas. ¿Qué fracción del estanque llenan juntas en 1 hora?

🎯 Tip específico: Fracciones por hora: 1/5 y 1/2. Suma = 1/5 + 1/2 = 2/10 + 5/10 = 7/10. La respuesta es 7/10.

Desafío 2 Tres llaves llenan un estanque en 6, 8 y 12 horas respectivamente. ¿Qué fracción del estanque queda por llenar después de 1 hora de trabajo conjunto?

🎯 Tip específico: Fracciones: 1/6, 1/8, 1/12. MCM = 24. Suma = 4/24 + 3/24 + 2/24 = 9/24 = 3/8. Queda 1 - 3/8 = 5/8.

Desafío 3 Una llave llena un estanque en 2,5 horas y otra en 3,5 horas. ¿Qué fracción llenan juntas en 1 hora?

🎯 Tip específico: Convierte a fracciones: 2,5 = 5/2 → 1/(5/2) = 2/5. 3,5 = 7/2 → 2/7. Suma = 2/5 + 2/7 = 14/35 + 10/35 = 24/35.

Desafío 4 Cuatro llaves llenan un estanque en 2, 3, 4 y 6 horas respectivamente. ¿Qué fracción del estanque se llena en 1 hora si las cuatro se abren juntas?

🎯 Tip específico: Fracciones: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6. MCM = 12. Suma = 6/12 + 4/12 + 3/12 + 2/12 = 15/12 = 5/4. ¡Más de un estanque en una hora! Eso significa que en 1 hora se llena completamente y sobra 1/4.

Desafío 5 Una llave llena un estanque en 4 horas, otra en 6 horas y una tercera lo vacía en 12 horas (caudal negativo). Si se abren las tres, ¿qué fracción del estanque se llena en 1 hora?

🎯 Tip específico: La tercera llave vacía, así que su contribución es negativa: 1/4 + 1/6 - 1/12 = 3/12 + 2/12 - 1/12 = 4/12 = 1/3. La respuesta es 1/3.

💡 Recuerda: la clave siempre es calcular la fracción que cada llave aporta por hora y luego sumarlas (o restarlas si alguna vacía). ¡Así de simple!

🚀 5 claves para dominar problemas de caudales y estanques

1. Fracción por hora = 1 / tiempo total

Si una llave tarda $T$ horas en llenar el estanque, en una hora llena $1/T$ del estanque.

2. Sumar caudales, no tiempos

El caudal total es la suma de los caudales individuales. No se suman los tiempos.

3. Usar el mínimo común múltiplo (MCM)

Para sumar fracciones con distinto denominador, encuentra el MCM de los denominadores.

4. Fracción que queda = 1 - fracción llenada

Lo que falta por llenar es el complemento de lo que ya se ha llenado.

5. Verificar con un ejemplo numérico

Si tienes duda, asigna un valor al estanque (por ejemplo, 36 litros) y calcula cuántos litros aporta cada llave en una hora, luego compara con la fracción.

📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado

Además de la preparación PAES, Claudio Hurtado ofrece tutorías personalizadas en diversas áreas y niveles. Conoce sus otros servicios:

🎓

Tutor personal Cálculo, Álgebra y Física nivel superior (Universidad) — Clases particulares para estudiantes universitarios que necesitan apoyo en matemáticas avanzadas y física.

🧮

🇪🇸

Clases matemáticas método Singapur para niños (España) — Servicio de clases particulares online de matemáticas con método Singapur para toda España.

🌎

🇪🇸📊

Clases GMAT, GRE, SAT, EA, FRM QUANT (España) — Preparación online para exámenes internacionales en España, con clases personalizadas y a distancia.

📅 Fechas clave PAES Invierno 2026

Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).

❓ Preguntas frecuentes sobre caudales y estanques

1. ¿Cómo se calcula la fracción del estanque que llena una llave en una hora?

Si la llave llena el estanque en $T$ horas, en una hora llena $1/T$ del estanque.

2. ¿Cuál es la fracción que llenan las tres llaves juntas en una hora?

Se suman las fracciones individuales: $1/4 + 1/3 + 2/9 = 29/36$.

3. ¿Qué fracción queda por llenar después de una hora?

Queda $1 - 29/36 = 7/36$, que corresponde a la opción C.

4. ¿Por qué las opciones A, B y D son incorrectas?

Porque no corresponden al resultado correcto de la resta $1 - (1/4 + 1/3 + 2/9)$.

5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?

La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.

6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?

Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.

7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de caudales y estanques?

Evalúa la capacidad de modelar problemas de trabajo conjunto usando fracciones y sumas de inversos.

8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?

Sumar los tiempos directamente (4+3+4.5) en lugar de sumar las fracciones de caudal.

9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?

En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.

10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?

La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).

🎯 ¿Quieres asegurar tu puntaje en la PAES M1 o M2?

Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.

📌 Tutorías 1 a 1 — Presencial en Peñalolén o online desde cualquier lugar de Chile.

📌 Primera clase de diagnóstico sin costo.