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Resuelvo la pregunta 22 de la PAES M2 Invierno 2026, paso a paso, sobre sistemas de ecuaciones lineales.
paes m2 invierno 2026 pregunta 22 sistemas
PAES Matemática M2 2026: Sistemas de ecuaciones y la llave de la solución | Claudio Hurtado Tutor personal +56937780070
Domingo 19 de julio de 2026, por
🔑 Sistemas de ecuaciones y la llave de la solución PAES Matemática M2 • Invierno 2026 • Pregunta N° 22
La pregunta 22 de la PAES M2 nos invita a convertirnos en detectives de sistemas: solo con mirar los coeficientes, debemos decidir si las ecuaciones se cruzan en algún punto o si son dos líneas paralelas que nunca se tocan. Hoy vamos a encontrar la llave que abre la puerta de la solución.
Este método está diseñado para que tú te conviertas en el protagonista de tu aprendizaje. No se trata de memorizar pasos, sino de entender cómo piensas y de aplicar esa conciencia para resolver problemas. Aquí te explico cómo aplicar cada punto:
- Aprendizaje por descubrimiento: ¿Cómo lo aplicas? Cuando veas un sistema, explora con casos concretos: prueba con a=2, b=3, c=5, d=1 y ve si tiene solución. Luego cambia a=2, b=2 y observa qué pasa. Pregúntate: "¿Qué relación hay entre los coeficientes cuando las rectas se cruzan?"
- Enseñanza 100% personalizada: ¿Cómo lo aplicas? Reconoce que tu forma de pensar es única. Hazte preguntas específicas sobre lo que no entiendes: "¿Por qué a-b es el determinante?" o "¿Qué pasa si a=b pero c=a·d?"
- Pensamiento flexible y estratégico: ¿Cómo lo aplicas? No te limites a una sola vía. Prueba diferentes enfoques: usa el método de sustitución, el de reducción, o piensa en las rectas. Pregúntate: "¿Hay alguna manera más rápida de saber si hay solución?"
- Enfoque en la resolución de problemas: ¿Cómo lo aplicas? Identifica la meta (la condición que garantiza solución) y trabaja hacia atrás. Pregúntate: "¿Qué necesito saber para que el sistema tenga al menos una solución?"
- "Aprendes, Emprendes, Creas": ¿Cómo lo aplicas? Aprende la teoría de sistemas, emprende el proceso de resolverlo por tu cuenta, y luego crea tu propio sistema para probar las condiciones. Pregúntate: "¿Cómo le explicaría esto a un compañero que confunde los casos?"
🎯 En este taller aprenderás:
✅ A interpretar un sistema de ecuaciones como dos rectas en el plano.
✅ A identificar la condición de solución a partir del determinante.
✅ A distinguir entre solución única, infinitas y ninguna.
✅ A aplicar estos conceptos en 5 desafíos prácticos alineados.
🔍 El ejercicio: transcripción literal de la pregunta 22
22. Considera el siguiente sistema de ecuaciones en \( x \) e \( y \), con \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) números reales.
\(\begin{cases} ax + by = c \\ x + y = d \end{cases}\)¿Cuál de las siguientes condiciones garantiza que este sistema tiene solución?
Si \(a = b\), el sistema puede tener infinitas o ninguna solución, dependiendo de \(c\) y \(d\).
Claudio te dice: "No necesitas resolver el sistema para saber si tiene solución. Solo mira el determinante de la matriz de coeficientes: \(a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b\). Si \(a \neq b\), el sistema tiene solución única. ¡Así de simple!"
Las otras opciones (B, C, D) no garantizan nada. Por ejemplo, \(a+b \neq c\) no asegura que las rectas se crucen; solo dice que una combinación de coeficientes no es igual a una constante.
🧩 Resolución paso a paso (con el método Open Your Mind)
\(\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\)
\(\Delta = a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b\)
Si \(\Delta \neq 0\) (es decir, \(a \neq b\)), el sistema tiene solución única (por el teorema de Cramer).
Entonces la primera ecuación es \(a(x+y) = c\), y como \(x+y = d\), se requiere \(c = a \cdot d\). Si se cumple, infinitas soluciones; si no, ninguna.
La condición que garantiza solución es \(a \neq b\) (opción A), porque asegura solución única.
A) Que \(a\) sea distinto de \(b\).
Las opciones B, C y D no son condiciones suficientes para garantizar solución. Por ejemplo, \(a+b \neq c\) no afecta la compatibilidad, y \(c \neq d\) no es relevante. La proporcionalidad (D) no dice nada sobre la relación con \(c\) y \(d\).
📊 ¿Qué estamos aprendiendo?
Este ejercicio nos enseña a usar el determinante como un predictor de soluciones. En lugar de resolver el sistema, podemos mirar los coeficientes y saber si las rectas se intersectan. La habilidad clave es identificar cuándo un sistema es compatible determinado (solución única) y cuándo no.
Además, nos muestra que no todas las condiciones sobre los coeficientes garantizan solución; solo aquellas que afectan la independencia lineal de las ecuaciones.
🤔 Curiosidad: En el mundo real, los ingenieros usan estos mismos principios para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución antes de gastar tiempo resolviéndolo. ¡La eficiencia es clave!
🧩 5 desafíos para entrenar el criterio
¡Pon a prueba lo que aprendiste!
Cada desafío está alineado con la pregunta 22. Todos trabajan con sistemas de ecuaciones lineales y condiciones de solución. Cada desafío tiene un tip específico que te guiará en el camino correcto.
💡 Recuerda: la clave siempre es calcular el determinante y analizar su valor. Si es distinto de cero, solución única; si es cero, hay que revisar la compatibilidad. ¡Así de simple!
🚀 5 claves para dominar sistemas de ecuaciones lineales
1. Determinante = a·d - b·c
Para un sistema \(ax+by=c\) y \(dx+ey=f\), el determinante es \(a e - b d\).
2. Si determinante ≠ 0 → solución única
Es la condición suficiente y necesaria para que haya una única solución.
3. Si determinante = 0 → hay que estudiar compatibilidad
Puede haber infinitas soluciones (si las ecuaciones son proporcionales) o ninguna (si son contradictorias).
4. Las condiciones sobre el lado derecho no afectan la unicidad
La unicidad depende solo de los coeficientes de las incógnitas.
5. Verifica con ejemplos numéricos
Prueba con números concretos para confirmar la condición.
📚 Otras actividades educativas de Claudio Hurtado
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📅 Fechas clave PAES Invierno 2026
- Inscripciones: 4 al 17 de marzo de 2026.
- Rendición: 15, 16 y 17 de junio de 2026.
- Publicación de resultados: 17 de julio de 2026 (sitio oficial DEMRE).
❓ Preguntas frecuentes sobre sistemas de ecuaciones
1. ¿Cuándo un sistema de dos ecuaciones lineales tiene solución?
Si las rectas que representan las ecuaciones se intersectan en al menos un punto. Si son paralelas y coincidentes, infinitas soluciones; si son paralelas distintas, no hay solución.
2. ¿Qué condición del sistema asegura que tiene solución (no necesariamente única)?
Que \(a\) sea distinto de \(b\) (\(a \neq b\)), porque entonces el determinante es distinto de cero y hay solución única.
3. ¿Qué ocurre si \(a = b\) en el sistema?
Si \(a = b\), la primera ecuación es \(a(x+y)=c\), y como \(x+y=d\), se requiere que \(c = a \cdot d\) para que haya solución. Si no, el sistema es incompatible.
4. ¿Por qué las opciones B, C y D no garantizan solución?
B) \(a+b \neq c\) no afecta la existencia. C) \(c \neq d\) no es suficiente. D) \(a\) proporcional a \(b\) no garantiza relación con \(c\) y \(d\).
5. ¿Cuándo se rinde la PAES de Invierno 2026?
La PAES de Invierno 2026 se rinde los días 15, 16 y 17 de junio de 2026.
6. ¿Cuándo se publican los resultados de la PAES de Invierno 2026?
Los resultados se publican el 17 de julio de 2026 a través del sitio oficial del DEMRE.
7. ¿Qué evalúa la PAES M2 con ejercicios de sistemas de ecuaciones?
Evalúa la capacidad de analizar la compatibilidad de sistemas lineales y la comprensión de la relación entre coeficientes y soluciones.
8. ¿Cuál es el error más común en este tipo de ejercicios?
Confundir la condición de solución única (\(a \neq b\)) con otras combinaciones de coeficientes.
9. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de la PAES Matemática M2?
En el sitio web preuch.cl y en Instagram @clasespaesmatematica.
10. ¿Cuántas preguntas tiene la PAES Matemática M2 y cuánto tiempo se dispone?
La PAES Matemática M2 consta de 55 preguntas (50 consideradas) y se dispone de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
Soy Claudio Hurtado y te ayudo a dominar las matemáticas con un método probado en más de 20 años.
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📌 Nota: Este artículo está basado en la PAES de Invierno 2026 y la experiencia de Claudio Hurtado Maturana. Para material oficial, consulta demre.cl.
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